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数读 中国古代是怎么算数的?
    发布时间:2016-01-07

作者 

邹大海1965年生,中国科学院自然科学史研究所研究员(教授),博士生导师,中国数学会理事。 

版权: 歌德学院(中国) 

201508 

 

 

中国古代算筹 | © 东篱把酒,微图 

我们今天算数,都用印度-阿拉伯数码记数,用+、-、×÷等符号表示四则运算。但是,这些符号自清末以来才在中国逐渐推广,那么,中国古代是怎样记数和算数的呢?中国古代采用十进制,有多种记数法,这里只介绍最常见、简单的文字记数法和算筹记数法,然后介绍古人如何做四则运算。  

文字记数法 

文字记数法有基本数字和数字单位两种基本的符号单元。前者用一、二、三、四、五、六、七、八、九共9个汉字分别表示19,后来又出现表示0的零和○。后者有一、十、百、千、万、亿、兆、京等21个。从一开始至万每级都是十进,从万到亿开始,有多种不同的进制,先秦时代常用十进,汉代以来常见的有两种:一种是万进;另一种以万万为亿,从亿到兆开始为万万进。 

中国自古至今,万以内的数通常以“几千几百几十几”的形式写成。万以上的部分,根据进制的不同而有所区别,若为十进,就用与之相同的方式,如 “五亿三万四千八百六十三”表示534863;若为万进,则用“几千几百几十几+数字单位”的形式表示数字单位的倍数。如南宋杨辉《续古摘奇算法》中有一个大数“一兆八千五百三十亿二千一十八万八千八百五十一”,从万以上用万进。如果省略数字单位并用○代替空缺的数位,则变成“一八五三○二○一八八八五一”,与今天印度-阿拉伯数字表示的1853020188851就一一对应了。 

汉字记数简洁而自然,如30作“三十”,13作“十三”或“一十三”,只需基本数字与数字单位,对比英语的“thirty”、 “thirteen”,不仅有超出数字单位“ten”的“-ty”和“teen”、超出基本数字的“thir-”,而且与3对应的“thir-”3013中位置不变,汉字记数的优点就一目了然了。 

算筹记数法 

算筹是用竹、木等制成用来表示数字的小棍,记数时有两种基本的摆放形式: 

在这些符号中,对15,表示几就用几根算筹;对69,用一根在上面的算筹表示所含的5,比5多几就在下面放几根算筹,与表示5的算筹垂直。记数时,个、百、万等位上的数字用纵式,十、千、十万等位上的数字用横式,纵横交错进行。如果某位上数字为零,则空出相应的位置。早期的古人席地而坐,就规定右膝所对的位置为个位。如68012用算筹表示就是 

 

算筹记数是完全遵循十进位值制,同一算筹符号在不同的位置表示不同数字单位的倍数,与现代的印度-阿拉伯数字记法完全一致。 

四则运算 

中国古代一般用算筹计算,用文字记录。 

也许因为算筹记数非常简单,古代数学经典中没有记载用算筹做加减的具体做法。但可推知其算法与现代笔算加减的方法差不多,只是用算筹更灵活,既可先从低位算起,也可先从高位算起。以下是计算38+63的两种图示(为便于现代读者的习惯,用印度-拉伯数字代替算筹) 

古代乘除法以算筹记数为基础,以九九口诀为核心。因为早期的口诀从“九九八十一”开始,所以称为“九九”。九九在不同时代有所变化,但都包括“九九八十一”至“二二而四”等核心句子。九九的内容不多,古人都熟读背诵下来。 

做乘法比如计算72×39时,用算筹分三行摆放数字(仍用印度-阿拉伯数字代替算筹),中间为乘积,上、下为乘数,分别称为上数、下数。先让下数末位与上数首位对齐,如图3-1。用上数首位3乘下数首位7,念“三七二十一”,在中行放21,使其个位1与所乘的7对齐,如图3-23再乘下数次位2,念“二三而六”,将6加入中行,如图3-3。上数首位3已乘遍下数各位,故将它撤去,然后右移下数,使末位2与这时的上数首位9对齐,如图3-4。仿照上面的步骤,用上数9依次乘下数各位,加入中行,撤去9,中行得到乘积为2808。如图3-53-63-7 

做除法时,被除数、除数分别放在中行、下行,上行先空着等待放置商。先将除数左移,与被除数首位对齐,若相同位上除数比被除数大,则除数向右退一位。如2808÷72,因7228,故将7280对齐,如图4-1。试商3,置于上行,与除数个位对齐,如图4-2。以3乘除数首位7,念“三七二十一”,从被除数中与7对齐的位及之前的位所构成的数28中减去21,如图4-3。再以3乘除数个位2,念“二三而六”,从中行减去6,如图4-4。将除数右移一位,如图4-5。商第2位得数9,再按刚才的方法,从中行减去9与除数的乘积,最后除尽得商39,如图4-64-7。如果有余数,就得到一个带分数,商为其整数部分,除数、余数分别为其分数部分的分母、分子。 

利用上述方法,古人很容易应付日常事务的计算。中国古代还用不同颜色或形状的算筹来表示正负数,甚至利用算筹的摆放位置,通过今天的分离系数法来表示方程和代数式。这不仅使中国古代数学长于计算,而且在代数方面非常发达。 

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